Типовые задачи с решениями

Раздел «Преобразования плоскости»

Тема 6. Движения. Свойства движений

Типовые задачи с решениями

Задача 1.1. Построить образ окружности при скользящей симметрии, заданной вектором и осью , где (рис. 6).

Решение.

По определению скользящей симметрии сначала строим образ окружности при параллельном переносе , т.е. (для этого достаточно построить образ центра окружности , а радиус окружности равен ). Заметим, что окружность строить не обязательно, достаточно построить ее центр .

Затем строим образ окружности при осевой симметрии , т.е. .

, следовательно, − искомая окружность.

Задача 1.2. На окружности отмечены три точки и так, что точка делит пополам дугу . Доказать, что .

Решение. Так как , то , причем дуга отобразится на дугу (рис. 7). Тогда точка перейдет в такую точку на дуге , что дуги и будут равны. А так как по условию и − середина , то точка совпадет с , т.е. .

Тогда по определению осевой симметрии есть серединный перпендикуляр к отрезку , т.е. .

Задача 1.3. Доказать, что при центральной симметрии прямая, проходящая через центр симметрии, переходит в себя, а прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую.

Решение. а) Пусть − центр симметрии и прямая проходит через точку (рис. 8, а).

		б)
		а)
			Рис. 8

Возьмем на прямой произвольную точку . Пусть . Тогда по определению центральной симметрии − середина отрезка . Следовательно, .

Так как , то . Учитывая, что , получаем, что совпадает с , т.е. .

б) Пусть (рис. 8, б). Возьмем точки и найдем и . Тогда .

Диагонали и четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, − параллелограмм, откуда получаем, что , т.е. .