2015-06-28
1007
Прежде чем приступить к решению задач, дадим несколько методических рекомендаций.
1) При решении задач методом геометрических преобразований часто пользуются следующими утверждениями:
а) 
(если точка 
принадлежит фигуре 
, то ее образ 
в движении 
принадлежит образу 
фигуры );
б) 
(образ пересечения двух фигур и 
в данном движении равен пересечению образов этих фигур).
2) Если в задаче дана трапеция, то используется параллельный перенос или гомотетия; если равнобокая трапеция – то осевая симметрия; параллелограмм – центральная симметрия или параллельный перенос; равнобедренный треугольник или угол – осевая симметрия (реже поворот); окружность – осевая симметрия или поворот; равносторонний треугольник или квадрат – поворот вокруг центра или вокруг одной из вершин; равнобедренный прямоугольный треугольник – поворот вокруг вершины прямого угла; две окружности равных радиусов – осевая симметрия или параллельный перенос; две касающиеся окружности равных радиусов – центральная симметрия; параллельные отрезки разной длины или две окружности неравных радиусов – гомотетия.
3) Не спешите с выбором преобразования, сначала проанализируйте условие и требование задачи: выделите фигуры, о которых идет речь в задаче, отношения, которыми они связаны; вспомните свойства и признаки понятий, содержащихся в требовании задачи; рассмотрите связь фигур, заданных в условии, с движениями или гомотетией. Только после этого приступайте к использованию конкретного вида преобразования.
Задача 1.1. Доказать, что сумма боковых сторон трапеции больше разности ее оснований.
Решение. Пусть 
− трапеция, 
− ее верхнее основание, 
− нижнее (рис. 19).
Докажем, что 
. Подвергнем параллельному переносу 
на вектор 
сторону 
. Тогда 
, где 
и 
.
Получим вспомогательный треугольник 
, для которого справедливо неравенство треугольника: 
.
Так как 
и 
, то 
. Поэтому 
. Так как 
, а (это равенство вытекает из того, что 
по определению параллельного переноса), то . Неравенство доказано.
Задача 1.2. На сторонах и 
параллелограмма во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники 
и 
. Доказать, что точки 
и 
лежат на одной прямой.
Решение. Для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой, используют центральную симметрию или гомотетию. Так как в задаче дан параллелограмм, то воспользуемся центральной симметрией относительно точки 
пересечения его диагоналей (рис. 20). Докажем, что 
.
. Найдем образы лучей 
и 
.
Так как − середина 
, то 
. Так как − середина 
, то 
. Тогда 
.
и сторона 
угла 
при центральной симметрии 
переходит в сторону 
угла 
, тогда вторая сторона угла перейдет в сторону 
угла , т.е. 
.
и сторона 
угла при переходит в сторону 
угла , тогда вторая сторона угла перейдет в сторону 
угла , т.е. 
.
Тогда применяя равенство б), получим:
, т.е. . Следовательно, по определению центральной симметрии точки и лежат на одной прямой.
Задача 1.3. На сторонах и равностороннего треугольника 
взяты соответственно точки и 
так, что 
. Найти величину угла между прямыми 
и 
.
Решение. Центр правильного треугольника равноудален от всех его вершин (т.е. 
), 
(рис. 21). Рассмотрим поворот вокруг точки на угол 
.
.
|
. Тогда 
.
.
Так как поворот сохраняет расстояние, то 
.
Итак,
, т.е. 
.
.
.
Учитывая, что угол поворота тупой, делаем вывод, что угол между прямой и ее образом равен 
.
Ответ: угол между прямыми и равен 
.
