Примеры решения задач на взаимное расположение прямой и плоскости

Задание пространственного положения прямых и плоскостей на плоском чертеже с использованием проекций с числовыми отметками обусловливается практическими требованиями. В одних случаях плоскость и прямая должны быть параллельны, в других – перпендикулярны, в третьих прямая должна иметь определенный наклон к плоскости проекций и т. д. Подобного рода практические задачи очень часто возникают при проведении поисковых и геологоразведочных работ, а также в горном производстве. Сюда относится проектирование подземных горных выработок и буровых скважин, проектирование карьеров и других добычных сооружений и др. Ниже приведены примеры построения прямых и плоскостей, удовлетворяющих определенным требованиям.

Пример 1. Через точку B провести прямую n, которая пересекла бы прямую m (A₃ Ð35°) под углом 90° (рис. 3.28).

Решение

1) Через точку B перпендикулярно к прямой m проводят вспомогательную плоскость L, соблюдая условие: h ^L ^ пр. m, l ^L=1/ l^m, пад. D.

2) По профилю разреза, выполненного вертикальной плоскостью по направлению прямой m, определяют точку C пересечения прямой m с плоскостью L.

3) Через точки В₄ и С_5,8 проводят проекцию искомой прямой n (В₄ С_5,8).

Рис. 3.28

Пример 2. Через точку A провести прямую b, которая пересекла бы скрещивающиеся прямые m (C₇B₁₀) и n (F₁₁ Ð38°) (рис 3.29)

Решение

Проинтерполировав прямые m и n, строят горизонтали плоскостей S (m А₁₀) и L (n A₁₀). Точки A и R пересечение одноименных горизонталей плоскостей определяют искомую прямую b (A₁₀R₉), которая пересекает заданные прямые m и n в точках D и E.

Рис. 3.29

Пример 3. Параллельно заданному направлению m провести прямую n, которая пересекала бы скрещивающиеся прямые a и b (рис. 3.30).

Решение

1) На прямой b выбирают произвольную точку T, через которую параллельно прямой a проводят вспомогательную прямую t, соблюдая условия: пр. а || пр. t, l^a = l^t, пад.I. Прямые t и b определяют наклонную плоскость S, параллельную прямой a.

2) Через прямую а параллельно заданному направлению m проводят вспомогательную плоскость L. Плоскость L определена на плане прямой а и прямой d, проведенной параллельно прямой m: пр. d || пр. m; l^d = l^m, пад. I.

Рис. 3.30

3) Строят прямую f (K₈D₇) пересечение плоскостей S и L, которая пересечет заданную прямую b в точке E.

4) Через точку E параллельно m проводят искомую прямую до пересечения ее с прямой а в точке F.

Пример 4. Провести прямую m, которая кратчайшим путем соединила бы скрещивающиеся прямые a и b и имела бы угол падения, равный 35° (рис. 3.31, а).

Решение

1) Через прямую b параллельно прямой a проводят вспомогательную плоскость L. На плане плоскость L определяют двумя пересекающимися в точке R прямыми, одну из которых n проводят параллельно заданной прямой a: (b n).

2) Через точку C, принадлежащую прямой а, проводят прямую t, которая скрещивается с горизонталью плоскости L под прямым углом и имеет угол падения, равный 35°. Прямые а и t определяют вспомогательную плоскость S (рис. 3.31, б).

3) Строят линию d (L₁₃K₁₄) пересечения плоскостей S и L, которая пересечет заданную прямую b в точке E.

4) Через точку Е параллельно прямой t проводят искомую прямую m до пересечения ее с прямой а в точке F (рис. 3.31, в)

Пример 5. Провести наклонную прямую m, которая кратчайшим путем соединила бы скрещивающиеся прямые a и b (рис. 3.32)

Рис. 3.31

Рис. 3.32

Решение

1) Через прямую b параллельно прямой a проводят вспомогательную плоскость S. На плане плоскость S определяется двумя пересекающимися прямыми b и n, причем прямую n проводят параллельно прямой а.

2) Через произвольную точку N, принадлежащую прямой а, перпендикулярно к плоскости S (b n) проводят прямую t. Пересекающиеся прямые а и t определяют вспомогательную плоскость L.

3) Строят линию f (P₁₃T₁₂) пересечения плоскостей S и L. Построенная прямая f пересекает прямую b в точке Е.

4) Через точку Е параллельно t проводят искомую прямую m до пересечения ее с прямой а в точке F.

Пример 6. Провести горизонтальную прямую h, которая кратчайшим путем соединила бы скрещивающиеся прямые а и b (рис.3.33).

Решение

1) Через прямую а параллельно прямой b проводят вспомогательную плоскость S. На плане плоскость S определяют двумя пересекающимися прямыми а и m, причем прямую m проводят параллельно прямой b.

2) Через точку C, принадлежащую прямой b, проводят горизонтальную прямую q, которая пересекает одноименную горизонтальную плоскость S под углом 90°. Пересекающиеся прямые b и q определяют вспомогательную плоскость L.

3) Строят линию n (D₁₂K₁₃) пересечения плоскостей S и L. Построенная прямая n пересекает прямую а в точке E.

4) Через точку E параллельно q проводят искомую прямую h до пересечения ее с прямой b в точке F.

Рис. 3.33

Пример 7. Через точку A провести произвольную плоскость S, которая была бы параллельна прямой m (рис. 3.34).

Искомая плоскость будет параллельна прямой m при условии, если в этой плоскости найдется прямая, параллельная заданной прямой m. Задача имеет неограниченное число решений – через точку A можно провести одну вертикальную и бесчисленное количество наклонных плоскостей, параллельных прямой m.

Рис. 3.34

Рис. 3.35

Решение

1) Через точку А параллельно заданной прямой m проводят вспомогательную прямую n || m.

2) Через прямую n, определяя парой горизонталей, проводят наклонные плоскости S, S¹, S² и вертикальную плоскость S³.

Пример 8. Через точку R провести плоскость S, которая была бы перпендикулярна к плоскости L (А₃В₅С₂) и параллельна прямой m (F₅₀ Ð50°) (рис.3.35).

Решение

Искомую плоскость S определяют двумя пересекающимися прямыми; прямую b проводят перпендикулярно плоскости L, а прямую а – параллельно прямой m.

Пример 9. Через прямую m (А₁₅Ð20°) провести плоскость S, угол падения которой был бы равен 43° (рис. 3.36).

Решение

1) Проинтерполировав прямую m, определяют заложение искомой плоскости S.

2) Для определения направления падения плоскости S через точку В проводят окружность радиусом, равным заложению r = l ^S. Касательные, проведенные из точки А к окружности, и определят горизонтали плоскостей S и S¹.

Рис. 3.36

Контрольные вопросы

1. Какие существуют способы задания наклонной плоскости на плане?

2. Как будет проецироваться на плане фигура, лежащая в вертикальной плоскости?

3. Почему в запись элементов залегания наклонной плоскости входит азимут падения, а не азимут простирания?

4. Как должны быть расположены стороны квадрата, лежащего в на­клонной плоскости, чтобы он проецировался ромбом?

5. Определяется ли плоскость однозначно прямой линией, если эта прямая является линией ее падения?

6. Каковы признаки параллельности двух плоскостей на плане?

7. В каких пределах может меняться угол падения плоскости, перпен­дикулярной к заданной плоскости L?

8. Укажите алгоритм решения задачи на пересечение прямой и плоскости.

9. Какой должна быть вспомогательная секущая плоскость Δ, чтобы определить линию пересечения двух плоскостей S и L, у которых парал­лельны горизонтали? Какой линией в пространстве будет линия их пересе­чения?

10. Как провести плоскость Σ через прямую т параллельно заданной прямой n?

11. Укажите алгоритм решения задачи на определение расстояния от точки до наклонной прямой.