Уравнения прямой на плоскости

Определения:

Направляющим вектором прямой называется вектор , который параллелен прямой или лежит на ней.

Нормальным вектором прямой называется вектор перпендикулярный этой прямой.

Угловым коэффициентом прямой называется число , где - угол между прямой и положительным направлением оси .

Понятно, что направляющий и нормальный векторы определяются неоднозначно. Все направляющие векторы коллинеарны между собой. Это же верно и для нормальных векторов. Угловой коэффициент к прямой определяется единственным образом (для прямых, перпендикулярных оси угловой коэффициент не определен).

Рассмотренные три понятия в определенном смысле характеризуют направление прямой. Зная некоторые данные относительно прямой, можно найти её уравнение.

Дано: точка на прямой и направляющий вектор прямой (рис.10). Пусть - произвольная точка прямой. Составим вектор , который коллинеарен вектору . Используя условие коллинеарности получим уравнение

,

которое называется каноническим уравнением прямой в .

2.Дано:точка на прямой и нормальный вектор прямой (рис.11). Если - произвольная точка прямой, то векторы и перпендикулярны. Записывая условие перпендикулярности векторов, получим уравнение

,

которое называется уравнением прямой с нормальным вектором.

3.Дано:точка на прямой и угловой коэффициент прямой (рис.12). Из рисунка видно, что вектор является направляющим вектором прямой. Каноническое уравнение прямой приводится к виду

,

которое называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.

4.Дано: точка на прямой и отрезок , отсекаемый прямой на оси (рис.13). Преобразуем уравнение прямой , получим ,. Обозначим .

Тогда уравнение прямой примет вид , и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Таккак при , то – это отрезок, отсекаемый прямой на оси . Полученное уравнение прямой широко используется в приложениях. Для прямых перпендикулярных оси имеем - не существует. Следовательно, для таких прямых не существует уравнений, содержащих угловой коэффициент .

5. Дано: две точки ,на прямой . Вектор является направляющим вектором прямой. Каноническое уравнение прямой

называется уравнением прямой в , проходящей через две точки.

6. Дано: отрезки , отсекаемые прямой на осях координат и (рис.14). Так как точки лежат на прямой, то, используя уравнение прямой, проходящей через две точки , получим уравнение

,

которое называется уравнением прямой в отрезках.

Пример 4.1. Найти уравнения прямых, проходящих через точку с:

1) направляющим вектором

2) нормальным вектором

3) с угловым коэффициентом

Решение. 1) Воспользуемся каноническим уравнением прямой с Получим

2) Воспользуемся уравнением прямой с нормальным вектором, где

Получим

3) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом. Получим

Пример 4.2. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки , . Найти отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки

,

где Получим

Преобразуем это уравнение к виду уравнения прямой в отрезках, получим

,

то есть, , .