2015-06-28
565
Визначення. Вектор 
має назву власного вектора квадратної матриці [А], а l - власним числом, що відповідає власному вектору 
, коли 
Власний вектор визначено з точністю до коефіцієнта пропорційності.
Система (1.1) має єдине рішення [ 1 ], якщо
Визначення. Рівність 
має назву - характеристичне рівняння матриці. Розв'язки цього рівняння n-го ступеня від l є характеристичними числами матриці.
Приклад:
Визначення. квадратні матриці [А] та [В], для яких існує [С], |C| ¹ 0, така що [В]= [С]-1[А] [С], називаються подібними.
Покажемо, що характеристичні багаточлени подібних матриць співпадають.
Характеристичний багаточлен (поліном) - багаточлен n-го ступеня з дійсними коефіцієнтами, тому він має не більш n дійсних коренів [2], тобто матриця має не більш n дійсних власних чисел (частина може бути комплексною).
Відомо [ 2 ], що:
1) різним власним числам відповідають лінійно-незалежні власні вектори;
2) якщо матриця [А] - симетрична, тоді всі її власні числа дійсні;
3) для симетричної матриці [А] знайдется [С], |C| ¹ 0, що [С]-1[А][С] = [l]
|
|
|
де l - диагональна матриця, складена з власних чисел матриці [А], тобто [А] та [l] - подібні.
квадратична матриця [Q] - ортогональна, коли |Q| ¹ 0 та [Q]T=[Q]-1
