Задача 5. Проверить, является ли матрица А идемпотентной

Проверить, является ли матрица А идемпотентной. Показать, что матрица В = 2А - Е, где Е - единичная матрица, инволютивна.

Для того чтобы выяснить, является ли матрица А идемпотентной, ее необ­ходимо возвести в квадрат и сравнить с исходной, так как, по определению, для идемпотентной матрицы истинно тождество А = А². Определить, является ли матрица В инволютивной, можно, сравнив ее с единичной матрицей. Подроб­но решение задачи приведено в листинге 73.

Листинг 73

>> А=[6 -15;2 -5]

А =

6 -15

2 -5

>> %Матрица А идемпотентна, так как А=А²

>> А^2

ans =

6 -15

2 -5

>> %Формирование матрицы В по формуле, eye(2) - единичная матрица 2x2

>> В=2*А-еуе(2) В =

11 -30

4 -11

>> %Матрица В инволютивна, так как В²=еуе(2)

>> В^2-еуе(2)

ans =

0 0

0 0

Задача 6.

Решить матричные уравнения А*Х=ВиХ*А = В ивыполнить проверку.

Матричное уравнение - это уравнение вида А * Х= В или Х* А = В, где Х- это неизвестная матрица. Если умножить матричное уравнение на матрицу, обрат­ную А, то оно примет вид: А^-1АХ= А^-1В или ХАА^-1 = ВА^-1. Так как А^-1А = АA^-1 = Е, а ЕХ = ХЕ=X, то неизвестную матрицу X можно вычислить так: X = А^-1В или Х= ВА^-1. Понятно, что матричное уравнение имеет единственное решение, если А и В - квадратные матрицы n-го порядка и определитель матрицы А не равен нулю. Как решить матричное уравнение в MATLAB, показано в листинге 6.71.

Листинг 74.

>> А=[3 2;4 3]

А =

3 2

4 3

>> В=[-1 7;3 5]

В =

-1 7

3 5

>> %Решение матричного уравнения А*Х=В

>>%Первый способ >> Х=А\В

X =

-9 11

13 -13

>> %Второй способ

>> X=inv(A)*B

X =

-9 11

13 -13

>> %Проверка А*Х-В-0

>> А*Х-В

ans =

О О

>> %Решение матричного уравнения Х*А=В

>> %Первый способ

>> Х=В/А

X =

-31.0000 23.0000

-11.0000 9.0000

>> %Второй способ

>> x=B*inv(A)

Х =

-31 23

-11 9

>> %Проверка Х*А-В=0

>> Х*А-В

ans = 0 0

0 0