Задача 1. Для матриц А, В и С проверить выполнение следующих тождеств

Для матриц А, В и С проверить выполнение следующих тождеств:

а) (А- В)С=А(В-С);

б) (А^Т+В)С=А^Т* С+В* С.

В листинге 69 видно, что матрицы, получившиеся в результате вычисления левой и правой частей первого тождества равны, следовательно, предположение а) истинно.

Листинг 69

>> А=[2 3 -2;1 2 5]

А =

2 3 -2

1 2 5

>> В=[2 -1;3 1;1 0]

В =

2 -1

3 1
1 0

>> С=[3 -2;1 4]

С =

3 -2

1 4

>> (А*В)*С

ans =

3 -18

40 -22

>> А*(В*С)

ans =

34 -18

40 -22

Листинг 69 содержит исследование второго тождества. Здесь из левой части равенства вычитаем правую и получаем нулевую матрицу, что также приводит к выводу об истинности предположения б).

Листинг 69.

>> (А'+В)*С-(А'*С+В*С)

ans =

0 0

Задача 2.

Проверить, является ли матрица симметрической.

По определению, для симметрической матрицы А должно выполняться равенство А = A^T. Решение, приведенное в листинге 70, показало, что в результате вычитания из матрицы А транспонированной матрицы A^T получена нулевая матрица, то есть тождество А = A^T =>А- A^T=0 выполнено и заданная матрица симметрическая.

Листинг 70.

>> А=[2 -1 3; -1 0 5; 3 5 -4]
А =

2 -1 3

-1 0 5

3 5 -4

>> А-А'

ans =

0 0 0

Задача 3.

Проверить, является ли матрица кососимметрической.

Если матрица А кососимметрическая, то для нее должно выполняться свойство -А= А^Tили А^T+А = 0. Проверив это равенство для заданной матрицы (листинг 71), мы убеждаемся в его истинности.

Листинг 71

>> А=[0 -1 3;1 0 -5;-3 5 0]

А =

0 -1 3

1 0 -5

-3 5 0

>> А'+А

ans =

0 0 0

Задача 4.

Проверить, является ли матрица ортогональной.

По определению, ортогональная матрица А обладает следующими свойствами:

• определитель матрицы А отличен от нуля det A ≠ 0;

• транспонированная матрица А равна обратной к А матрице, то есть А^T= А^-1.

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо вычислить определитель заданной матрицы, и убедиться в том, что он не равен нулю. Затем транспонировать исходную матрицу и найти обратную ей. Если визуально сложно убедиться в том, что транспонированная матрица равна обратной, можно вычислить их разность. В результате должна получиться нулевая матрица (листинг 72).

Листинг 72

>> А=[1/3 0 -2/3 -2/3/0 1 0 0;-2/3 0 1/3 -2/3/-2/3 0 -2/3 1/3]

А =

0.3333 0 -0.6667 -0.6667
0 1.0000 0 0

-0.6667 0 0.3333 -0.6667

-0.6667 0 -0.6667 0.3333

>> det(А)%Определитель матрицы А отличен от нуля

ans = -1

>> A'-inv(A)

>> %В результате вычитания из транспонированной матрицы А

>> %обратной ей матрицы получаем нулевую матрицу.

>> %Это значит что А – ортогональная.