Геометрическое истолкование модуля смешанного произведения

На векторах , , построим параллелепипед (см. рис.), объем которого обозначим через .

Теорема. Модуль смешанного произведения векторов , , численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , :

.

Доказательство. Согласно свойству 2 скалярного произведения векторов или, с учетом геометрического истолкования модуля векторного произведения двух векторов, . Тогда , нo есть высота рассматриваемого параллелепипеда (см, рис.). Обозначая высоту параллелепипеда через , получим и . Так как , то приходим к выводу, что действительно .