2015-06-28
659
1. Основное свойство
Для двойного векторного произведения трёх векторов 
, 
, 
справедливо равенство
. (1)
Доказательство. Проекции векторного произведения векторов и на координатные оси 
, 
, 
равны
(2)
Для проекций векторного произведения векторов и 
имеем
(3)
Чтобы убедиться в справедливости доказываемого равенства (1), достаточно показать, что
Действительно, согласно первого из равенств (3), 
.
После тождественных преобразований (в правой части прибавим и вычтем 
) имеем
или, что то же самое,
и, наконец, 
Аналогично доказывается справедливость равенств
Следовательно,
то есть
.
Таким образом, , что и требовалось доказать.
2. Для двойного векторного произведения трёх векторов справедливы равенства
Доказательство. Равенства непосредственно следуют из свойств векторного произведения двух векторов.
3. Если векторы и коллинеарны, то 
.
Доказательство. Для коллинеарных векторов и справедливо равенство 
, откуда с очевидностью следует утверждение.
4. Если вектор перпендикулярен векторам и , то
Доказательство. Для перпендикулярных векторов , и соответственно , имеем 
и потому, согласно формуле (1), действительно .
5. Если вектор перпендикулярен вектору , то 
.
Доказательство. Так как векторы и перпендикулярны, то 
и, в силу формулы (1), убеждаемся в справедливости утверждения.
6. Если вектор перпендикулярен вектору , то 
.
Доказательство. Так как векторы и перпендикулярны, то 
и, в силу формулы (1), убеждаемся в справедливости утверждения.
