Плоское движение твердого тела

1.4.1. Описание плоского (плоскопараллельного) движения (ППД) твердого тела

ППД - это такое движение тела, при котором его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Моделью ППД служит движение плоской фигуры. Плоская фигура, двигаясь в неподвижной плоскости, имеет 3 степени свободы. Её обобщенные координаты – две координаты полюса С (рис. 6,а) и угол поворота фигуры вокруг полюса (вокруг оси Cz, проходящей через полюс и перпендикулярной плоскости движения).

Движение плоской фигуры можно рассматривать как сложное движение тела, являющимся результатом сложения поступательного движения плоской фигуры вместе с полюсом С и её вращательного движения вокруг полюса С.

Поступательное движение фигуры вместе с полюсом рассматривается как переносное, вращательное вокруг полюса – как относительное её движение.

а б в

Рис. 6. Плоская фигура. Скорость и ускорение точки

1.4.2. Скорость точки плоской фигуры:

Здесь - скорость полюса С, - скорость расчетной точки М при вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса С. Скорость направлена перпендикулярно отрезку СМ в сторону вращения точки М вокруг полюса С (рис. 6,б). Её величина равна

,

где ω – величина угловой скорости плоской фигуры. Вектор направлен перпендикулярно плоскости движения.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой.

1.4.3. Ускорение точки плоской фигуры равно сумме векторов ускорения полюса и ускорения этой точки при её вращении вокруг полюса:

,

где

Касательное (вращательное) ускорение направлено перпендикулярно отрезку МС в сторону ускорения вращения плоской фигуры вокруг полюса С (рис. 6,в). Его величина равна

Вектор нормального (центростремительного) ускорения направлен от точки М к полюсу С; его величина равна

1.4.4. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры (МЦС) - это такая её точка Р, скорость которой в данное мгновение равна нулю.

Если найдено положение МЦС (точки Р), то движение плоской фигуры в каждый момент времени можно рассматривать как мгновенно-вращательное вокруг центра Р. Тогда скорость точки А плоской фигуры вычисляется по формуле и направлена перпендикулярно отрезку АР в сторону вращения плоской фигуры вокруг МЦС. Величины скоростей точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦС:

Положение МЦС можно найти на пересечении перпендикуляров к скоростям двух её точек (А и В), восстановленных из этих точек (рис. 7,а). Перпендикуляры могут совпадать (рис. 7,б) или не пересекаться. В последнем случае (рис. 7в) МЦС находится в бесконечно удаленной точке, скорости точек плоской фигуры одинаковы, угловая скорость её равна нулю.

Положение МЦС может определяться и непосредственно из специального кинематического условия движения. Например, если колесо катится без скольжения по неподвижной направляющей, то мгновенный центр скоростей находится в точке касания колеса с направляющей (рис. 7,г).

а б в г

Рис.7. Положение мгновенного центра скоростей