Решение. , (складываем по строкам), следовательно, xi pi

, (складываем по строкам), следовательно,

xi
pi

Проверка: .

, (складываем по столбцам), следовательно,

yj
pj

Проверка: .

2. Функция распределения – закон распределения СВДТ и СВНТ.

Функция распределения – универсальный закон распределения случайных векторов как дискретного, так и непрерывного типа.

Определение 5. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F (x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X < x, Y < y, т.е.

F (x, y) = Р (X < x, Y < y).

Геометрически F (x, y) представляет вероятность попадания случайной точки (X, Y) в левый нижний бесконечный квадрант плоскости с вершиной в точке (x, y).

F (x, y) = – для СВДТ

Свойства F(x, y).

1. Условие согласованности: F (x, +∞) = F ₁(x), F (+∞, y) = F ₂(y)

Пояснение. Отодвигая одну из границ квадранта в бесконечность, получаем полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной случайной величины.

2. F (+∞, +∞) = 1

Пояснение. Квадрант обращается во всю координатную плоскость, попадание случайной точки в которую есть достоверное событие.

3. F (–∞, y) = F (х, –∞) = F (–∞, –∞) = 0

Пояснение. Отодвигая ту или иную границу квадранта в (–∞), убеждаемся, что вероятность случайной точки попасть в квадрант равна нулю.

4. F (x, y) – неубывающая функция по каждому аргументу.

если х ₂ > x ₁, если y ₂ > y ₁.

5. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

Определение 6. (второе определение) Двумерный случайный вектор называется случайным вектором непрерывного типа (СВНТ), если его функция распределения непрерывна на всей плоскости и существует неотрицательная и интегрируемая по Риману в бесконечных пределах по x, y функция f (x, y), называемая плотностью распределения СВНТ.

Пример 3. В примере № 1 п.2 найти функцию распределения, если случайный вектор задан таблицей распределения:

xi \ yj			2