Независимость случайных величин

Известно, что события А и В являются независимыми, если . Аналогично определяется и независимость случайных величин и , только вместо событий А и В следует использовать события, связанные с этими случайными величинами.

Определение. Случайные величины и называются независимыми, если для любых имеет место равенство:

или, в терминах функций распределения,

. (3.9)

Если при каких-либо равенство (3.9) не выполняется, то говорят, что случайные величины и являются зависимыми.

Таким образом, независимость случайных величин означает, что их совместная функция распределения равна произведению одномерных функций распределения и , или, как еще говорят, двумерная функция распределения факторизуется.

Отметим, что установить, являются зависимыми или независимыми случайные величины и , можно только по определению (3.9) и только, зная их совместный (двумерный) закон распределения (никакая вероятностная интуиция при этом не работает).

Замечание. В несколько более общем виде независимость случайных величин и определяется следующим образом: для любых борелевских множеств

.

Но, учитывая, что борелевская -алгебра порождается интервалами вида , оба определения являются эквивалентными (подробнее см. учебник Боровкова А.А. «Теория вероятностей»).

Установим условия независимости случайных величин в дискретном и непрерывном случаях.

Лемма 1 (Условие независимости дискретных случайных величин).

Пусть - дискретный случайный вектор, принимающий значения с вероятностями , ; , - вероятности возможных значений случайной величины , - вероятности возможных значений случайной величины .

Дискретные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда при всех и

, (3.10)

то есть вероятность факторизуется.

Если при каких-либо и равенство (3.10) не выполняется, то дискретные случайные величины и являются зависимыми.

(Случай счетного числа возможных значений у какой-либо из дискретных случайных величин или рассмотреть самостоятельно).

▲ Необходимость. Пусть дискретные случайные величины и являются независимыми. Тогда для любых .

Обозначим прямоугольник

со сторонами, параллельными осям

координат, который содержит точку

и не содержит других значений

дискретного случайного вектора .

Тогда

(по построению ) =

= (по свойству 2F4)) =

= (в силу независимости случайных величин) = (по построению ),

то есть , и так можно сделать для любого значения .

Достаточность. Если выполняется равенство (3.10), то в соответствии с определениями функций распределения , имеем:

,

то есть дискретные случайные величины и являются независимыми ■.

Лемма 2 (Условие независимости непрерывных случайных величин).

Пусть - непрерывный случайный вектор, - его плотность вероятностей, и - одномерные плотности вероятностей его координат, определяемые по формулам (3.8).

Непрерывные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда

(3.11)

для всех , являющихся точками непрерывности функций и , то есть двумерная плотность вероятностей факторизуется.

Если при каких-либо равенство (3.11) не выполняется, то непрерывные случайные величины и являются зависимыми.

▲ Необходимость. Если непрерывные случайные величины и являются независимыми, то

.

Дифференцируя это равенство по и по , получаем:

и, следовательно, в соответствии с определениями плотностей вероятностей , и справедливо равенство:

в точках непрерывности функций и .

Достаточность. Проинтегрируем равенство (3.11) по первому аргументу в пределах от до и по второму аргументу в пределах от до . В результате получаем:

и, следовательно, в соответствии с определениями функций распределения , и для любых справедливо равенство:

,

то есть случайные величины и являются независимыми ■.

Леммы 1 и 2 показывают, что, если случайные величины и являются независимыми, то двумерный закон распределения случайного вектора полностью определяется одномерными законами распределения его координат (то есть понятие случайного вектора в этом случае вырождается).

Утверждения (3.10) и (3.11) лемм 1 и 2 могут служить определениями независимости случайных величин в дискретном и непрерывном случаях соответственно.

Пример.

а) Равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат:

Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат:

Поскольку в этом случае , то случайные величины и являются независимыми.

б) Равномерное распределение в круге :

Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат:

Поскольку в данном случае , то случайные величины и являются зависимыми.

Понятие независимости случайных величин обобщается на любое конечное число случайных величин следующим образом.

Определение. Случайные величины называются независимыми в совокупности, если для любого , для любого набора индексов и для любых ,

или, в терминах функций распределения, для любой точки

,

где – функция распределения случайной величины . Таким образом, независимость в совокупности случайных величин означает, что их многомерная функция распределения факторизуется.

Для независимости в совокупности непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей , необходимо и достаточно, чтобы

,

во всех точках непрерывности функций и .

Из независимости случайных величин в совокупности при следует их попарная независимость. Обратное неверно (примером тому по-прежнему служит пример С.Н. Бернштейна, если в качестве случайных величин рассмотреть индикаторные случайные величины соответствующих событий). В дальнейшем при рассмотрении одновременно более двух случайных величин под их независимостью, по умолчанию, будет подразумеваться независимость в совокупности.