2015-06-28
2198
Известно, что, если случайные события А и В зависимы, то условная вероятность события А отличается от его безусловной вероятности. В этом случае
.
Аналогичное положение имеет место и для случайных величин.
Пусть 
и 
- зависимые случайные величины, 
- их совместная функция распределения. Если известно, что случайная величина уже приняла некоторое значение y, то закон распределения случайной величины при этом условии не будет совпадать с ее безусловным законом распределения. Он называется условным законом распределения случайной величины при условии, что 
, и, заданный для всех возможных значений y случайной величины , полностью определяет зависимость между случайными величинами и .
Исчерпывающей характеристикой условного закона распределения случайной величины при условии, что , является условная функция распределения 
случайной величины при условии, что , которую естественно было бы определить следующим образом:
. (3.12)
Следует отметить, что это определение не имеет смысла, если 
, что имеет место всегда, когда является непрерывной случайной величиной. Тем не менее, в дискретном случае определением (3.12) можно вполне пользоваться.
|
|
|
Пусть 
- дискретный случайный вектор, 
- его возможные значения, 
- вероятности значений, 
, 
, 
(случай счетного числа значений дискретного случайного вектора рассмотреть самостоятельно). Тогда все условные законы распределения случайной величины при условии, что 
, 
, являются дискретными и согласно определению условной вероятности имеем:
.
Дискретные условные законы распределения удобнее задавать не условной функцией распределения 
, а совокупностью условных вероятностей 
, заданных при каждом 
:
и записывать в виде таблицы:
|
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
Очевидно, что при этом выполняется условие нормировки:
.
Аналогичны выражения для условной функции распределения 
, условных вероятностей 
и дискретного условного закона распределения случайной величины при условии, что 
:
;
;
|
| 
| 
|
| 
|
| 
| 
|
| 
|
Для вероятностей в последней таблице также выполняется условие нормировки:
.
Рассмотрим теперь непрерывный случайный вектор . Так как в этом случае при любом 
, то определение (3.12) условной функции распределения случайной величины при условии, что , неприменимо. Для непрерывных случайных величин и условную функцию распределения определяют следующим образом:
.
Вероятность, стоящая под знаком
предела, представляет собой
вероятность попадания непрерывного
случайного вектора в полосу.
В соответствии с определением условной вероятности и свойствами двумерной функции распределения имеем:
|
|
|
.
Если последний предел существует, то он равен
.
Учитывая, что у непрерывного случайного вектора существует плотность вероятностей 
и 
, а также, что у случайной величины существует плотность вероятностей 
и 
, для условной функции распределения получаем выражение:
(3.13)
в точках непрерывности функций и .
Условная плотность вероятностей 
случайной величины при условии, что , по аналогии с одномерным случаем определяется как производная по х от условной функции распределения :
в точках, где условная плотность вероятностей непрерывна.
Из (3.13) следует, что
(3.14)
(при этом полагается, что 
, если 
).
Аналогичные выражения имеют место для условной функции распределения 
и условной плотности вероятностей 
случайной величины при условии, что 
:
; (3.15)
в точках, где условная плотность вероятностей непрерывна;
(3.16)
(при этом полагается, что 
, если 
).
Как и любая плотность вероятностей, условные плотности вероятностей обладают свойствами:
при фиксированном y
; 
(условие нормировки);
при фиксированном х
; 
(условие нормировки).
Формулы (3.14) и (3.16) дают выражения для условных плотностей вероятностей через безусловные и их также можно записать в виде:
Полученная формула называется правилом умножения плотностей вероятностей, которая является обобщением известного правила умножения вероятностей.
Для непрерывных случайных величин в терминах плотностей вероятностей имеют место также аналоги формулы полной вероятности и формулы Байеса:
;
(в последней формуле 
- априорная плотность вероятностей, а 
- апостериорная плотность вероятностей).
Используя понятие условного закона распределения, получаем еще одно эквивалентное определение независимости случайных величин.
Для независимости случайных величин и необходимо и достаточно, чтобы условные законы распределения одной из случайных величин относительно другой совпадали с безусловными (аналог равенств 
):
, 
;
, 
;
, 
.
Кратко о многомерном случае. Здесь возникает дополнительная возможность рассмотрения условных законов распределения одной группы координат случайного вектора относительно другой. Но при этом определения полностью аналогичны.
Так, например, условная плотность вероятностей «отрезка» 
вектора 
при условии, что случайные величины 
приняли определенные значения 
, задается формулой:
.
Условные числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсия) определяются и находятся также, как и безусловные, только в формулах для их вычисления следует безусловные законы распределения заменить на условные.
Если - дискретный случайный вектор, то условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что , называется величина
а условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что , - величина
Если - непрерывный случайный вектор, то условные математические ожидания случайной величины при условии, что , и случайной величины при условии, что , определяются формулами:
;
.
Аналогичные формулы имеют место и для условных дисперсий.
Если - дискретный случайный вектор, то
;
.
Если - непрерывный случайный вектор, то
;
.
Отметим, что, если безусловные математические ожидания и дисперсия являются числами, то условные математические ожидания и дисперсии являются функциями условия. Функцию 
называют также функцией регрессии на , а функцию 
- функцией регрессии на .
