Мощность множества. Множество называется эквивалентным множеству если между и можно ус

Множество называется эквивалентным множеству если между и можно установить взаимнооднозначное соответствие. В этом случае применяется обозначение ~ .

Свойства эквивалентности:

1) ~ (рефлексивность);

2) если ~ то ~ (симметричность);

3) если ~ ~ С, то ~ С (транзитивность).

Мощностью множества называется класс всех множеств, эквивалентных множеству и обозначается он через или . Эквивалентные множества называют равномощными. Обозначим через 0 мощность пустого множества , через 1 мощность множества {0}, через 2 мощность множества {0, 1},..., n = {0, 1,..., n – 1}. Если существует натуральное n такое, что n = то множество называют конечным, а n – числом элементов множества n = | |. Всякое подмножество конечного множества конечно, объединение конечного числа конечных множеств конечно, прямое произведение конечного числа конечных множеств конечно. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

ТЕОРЕМА. Конечное множество неэквивалентно собственному подмножеству.

Доказательство. Пусть f – взаимнооднозначное отображение в , т. е. f ()Ì . Возьмем a Î \ f () и построим последовательность а ₀ = а, а_{i +1} = f (a_i) при i ³ 0. Тогда a_i ¹ a_j при i ¹ j. Значит содержит бесконечное подмножество { a ₀, a _1,... }. ■