Лекция 1 « ВЕКТОРЫ»

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

· Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А - начало вектора, а, В — его конец, то вектор обозначается символом или .

· Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .

· Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается .

· Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

· Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают || .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или проти­воположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

· Два вектора и называются равными ( = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.

· Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Если среди трех поизвольных векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

2. Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сло­жения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть и — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор = . От точки А отложим вектор .

· Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (см. рис. 1).

Рис. 1

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис. 2).

Рис. 2

На рисунке 3 показано сложение трех векторов , и .

Рис. 3.

Получившийся многоугольник называют векторным многоугольником; если суммируемые вектора образуют замкнутый многоугольник, то их сумма равна нулю.

· Под разностью векторов и понимается вектор = - такой, что + = (см. рис. 4).

Рис. 4.

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая — разностью (см. рис. 5).

Рис. 5.

Можно вычитать векторы по правилу: , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .

· Произведением вектора на скаляр (число) λ называется вектор λ· (или ·λ), который имеет длину |λ|·| |, коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если λ > 0 и противоположное направление, если λ < 0.

Например, если дан вектор (рис.6), то векторы 3 и -2 будут иметь вид:

Рис. 6.

Из определения произведения вектора на число следуют свойства это­го произведения:

1) если = λ· , то ║ . Наоборот, если ║ , ( ≠ 0), то при некотором λ верно равенство = λ ;

2) всегда = ׀ ׀ · , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. + = + .

2. ( + ) + = + ( + ),

3. λ₁·(λ₂ · ) = λ₁·λ₂·

4. ( λ₁ + λ₂ ) = λ₁ · + λ₂ · ,

5. λ ·( + ) = λ· + λ· .

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

3. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось l называется основание M₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из точки на ось.

Точка M₁ есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М.

Рис. 7

Пусть — произвольный вектор ( ≠ ). Обозначим через А₁ и В₁ проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор .

Рис. 8.

· Проекцией вектора на ось l называется положительное число | |, если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число - | |, если вектор и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки А₁ и В₁ совпадают ( = 0), то проекция вектора равна 0.

Проекция вектора на ось l обозначается так: пр _l . Если = или , то пр _l = 0.

Угол φ между вектором и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно, 0 ≤ φ ≤ π.

Рис. 9.

Рассмотрим основные свойства проекций.

С 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла φ между вектором и осью, т. е. пр _l = | |• cos φ.

ü Если φ < π/2, то пр _l = +| | = | |·cos φ.

ü Если φ > π/2 (φ ≤ π), то пр _l = -| | = -| |· cos(π-φ) = | | · cos φ (см. рис. 10).

ü Если φ = π/2, то пр _l = 0 = | a |cos φ.

Рис. 10.

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

С 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пусть, например, = + + . Имеем пр _l = +| | = +| | + | | - | |, т. е. пр _l ( + + ) = пр _l + пр _l + пр _l (см. рис. 11).

Рис. 11.

С 3. При умножении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т. е. пр _l (λ· ) = λ· пр _l

При λ > 0 имеем пр _l (λ· ) = |λ |·сos φ = λ·| |·cos φ = λ· пр _l· .

При λ < 0: пр _l (λ· ) = |λ |·сos (π- φ) = -λ·| |·(-cos φ) = λ· ·cos φ = λ· пр _l .

Свойство справедливо, очевидно, и при λ = 0.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (см. рис. 12).

Рис. 12.

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через M₁, М₂ и М₃. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда пр _х = | |, пр _у = | |, пр _z = | |. По определению суммы нескольких векторов находим .

А так как , то

Но ·= | | · , ·= | | · , ·= | | ·

Обозначим проекции вектора = на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_у и а_z, т.е. | | = а_х, | | = а_у, = | | = а_z. Тогда из равенств и получаем:

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство часто записывают в символическом виде: = (а_х; а_у; a_z)._

Равенство = (b_х; b_у; b_z) означает, что .

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать , т. е.

Отсюда:

,

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны α, β, γ- По свойству проекции вектора на ось, имеем:

а_х = | |· cos α, а_y = | |· cos β, а_z = | |· cos γ

Или то же самое, cos α = а_х / | |·, cos β = а_y / | |·, cos γ = а_z / | |·

Числа cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора . Подставим выражения в равенство, получаем:

| |² = | |² · cos² α + | |² · cos² β + | |² · cos² γ.

Сократив на | |² ≠ 0, получим соотношение:

cos² α + cos² β + cos² γ = 1,

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа cos α, cos β, cos γ, т. е. = (cos α; cos β; cos γ)

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.

5. Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы = (а_х; а_у; a_z) и = (b_х; b_у; b_z) заданы своими проекциями на оси координат Ох, Оу, Oz или, что то же самое

,