Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов , и основано на следу­ющих соображениях. Если > 0, то , , — правая тройка; если < 0, то , , - левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю ( ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0):

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на век­торах , и вычисляется как V = | |, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V = 1/6 | |.

Пример 1. Вершинами пирамиды служат точки А(1; 2; 3), В (0; -1; 1), С (2;5;2) и D (3;0; -2). Найти объем пирамиды.

Решение: Находим векторы , , :

= =(-l;-3;-2), = = (1;3;-1), =- = (2; -2; -5).

Находим

Следовательно,