double arrow

Тензоры.


В соотношениях (3) структуру, обозначенную b,можно рассматривать какнекоторый оператор, который осуществляет линейное преобразование вектора a в вектор b. Если эти векторы описывают объекты, существующие независимо от системы координат, выбранной для их описания, то и структураb существует независимо от системы координат. При этом, ее компоненты, то есть коэффициенты bi,j , от системы координат зависят (как и компоненты векторов ai и bi).

Оператор, осуществляющий линейное преобразование вектора в вектор, называется тензором (2-ого ранга).

Таким образом,b - это тензор, bi,j - его компоненты, (b) – его матрица в координатной системе x1,x2,x3.

С использованием этого определения соотношение (3) можно записать в тензорно-векторной форме:

b = b×a(3т )

4. Поворот системы координат.

Введем новую ортогональную систему координат x1I, x2 I, x3I, повернутую относительно старой x1, x2, x3. Определим положение новой системы матрицей поворота (L) , коэффициентами которой являются направляющие косинусы новых осей по отношению к старым:

(4)

где li,j – косинус угла, который образует новая осью xiI со старой xj.

5. Преобразование компонентов векторов при повороте осей координат.

Для того, чтобы определить компоненты вектора в новой координатной системе aiнов достаточно на ее оси спроецировать его компоненты в старой системе, умножая их на соответствующие направляющие косинусы. Для вектора a получится:

(a) нов = (L)·(a). (5)

или ajнов = Lj,I · ai ,

где (a)нов =( a1н ,a2н ,a3н )T - матрица-столбец, составленная из компонентов вектора aв новой координатной системе (суммиро-вание по повторяющимся индексам i и j),.

Аналогичным образом, проецируя компоненты вектора в новой системе на старые оси, можно построить обратное соотношение:

(a) = (L)T·(a) нов, (6)

или aj = Li,jaiн

С другой стороны, его же можно получить, обратив соотношение (5):

(a) = (L-1) ·(a) нов. (6a)

Таким образом, обратная матрица поворота равна транспонированной:

(L-1) = (LT). (7)

Если обратная матрица равна транспонированной, то матрица и соответствующий ей тензор называются ортогональными.

Матрица поворота (L) ортогональна.

6. Преобразованиекомпонентов тензора при повороте осей координат.

Пусть тензор b связывает векторы a и b соотношениями (3) в старых координатах. В новой координатной системе эти векторы связаны аналогичным соотношением:

(b)нов = (b)нов · (a)нов , (8)

где – (b)нов матрица компонентов тензора bв новых координатах.

Для того, чтобы установить правило преобразования компонентов тензора при повороте системы координат, применим к матрице (b)нов соотношение (5), а затем выразим (b) через (a), используя (3d):

(b)нов = (L)·(b) = (L)·(b)· (a).

Последний сомножитель формулы преобразуем , выразив старые компоненты вектора (a) через новые по формуле (6-а). Получим:

(b)нов = (L) ·(b) · (LT) ·(a) нов

Сравнивая результат с (8), получим уравнение, связывающее компоненты тензора b в новой и старой системах координат:

(b)нов = (L) · (b) · (LT) (9).


Сейчас читают про: