double arrow

Вырожденные и невырожденные тензоры.

Тензор b называется невырожденным, если определитель его матрицы отличен от нуля:

Для невырожденного тензора существует обратный тензор b-1 с обратной матрицей (b)-1.

Определитель |bij| в соответствии с (14) равен третьему инварианту J3b. Следовательно, тензор невырожденный, если его третий инвариант не равен нулю.

Третий инвариант равен произведению собственных чисел тензора. Он равен нулю только тогда, когда хотя бы одно собственное число равно нулю. Следовательно, тензор невырожденный, если все его собственные числа отличны от нуля.

Тензор Т* называется сопряженным с тензором Т, если их матрицы связаны операцией транспонирования:

*) = (Т) или Т*ij =Tji.

Умножение тензора на сопряженный приводит к симметричному тензору с неотрицательными собственными значениями, а для невырожденного тензора – с положительными собственными значениями. Тензор с положительными собственными значениями называют положительно определенным.

Любой невырожденный тензор может быть представлен в виде произведения положительно определенного тензора на ортогональный:

T = L · Q,

где T – произвольный невырожденный тензор,

Q – ортогональный тензор,

L = – положительно определенный.

11. О матрице поворота.

Произвольный поворот одной системы относительно другой описывается всего тремя независимыми величинами, например, тремя эйлеровыми углами. Матрица [L] содержит 9 направляющих косинусов. Следовательно их связывает по крайней мере 6 соотношений. На самом деле таких соотношений можно составить значительно больше. Здесь приводится 13, разумеется они взаимозависимы:

- сумма квадратов направляющих косинусов каждой (для i=1,2,3) новой оси равна единице (3 уравнения):

, i=1..3 (19)

- сумма квадратов направляющих косинусов каждой старой оси в новой координатной системе равна единице(3 уравнения):

, j=1..3 (20)

- условия ортогональности новых координатных осей (3 уравнения):

или (21)

- условия ортогональности старых координатных осей (3 уравнения):

или (22)

- условие неизменности объема при преобразовании вращения (1 уравнение):

(23)

Собственные векторы тензора или матрицы ортогональны, поэтому, если их расположить в виде матрицы 3х3, то ее элементы будут удовлетворять этим соотношениям.

Матрица [L] может быть представлена в виде произведения трех матриц:

(24)

где a,b,g - эйлеровы углы, однозначно определяющие вращение.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: