Скалярные произведения

Скалярное произведение двух векторов

a. · b =|a|·|b|Cos(ab) (16)

может быть вычислено как скалярное произведение их матриц

ab = a × b =(a)^T× (b) (16a)

или как сумма произведений их одноименных компонентов

ab = a × b = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z = a_ib_i (S_i) (16b)

Для тензоров второго ранга операция скалярного произведения определена аналогично (16а) правилом скалярного произведения их матриц, первая из которых транспонируется. Ее результатом является не скаляр, как должно было бы следовать из названия операции, а новый тензор:

C = A × B; (C)=(A)^T× (B)=(A)^T(B), (17а)

или, что то же самое:

C_ij = A_ikB_kj (17b).

Операция, выполняемая аналогично (16b) по правилу суммирования произведений соответствующих друг другу компонентов матриц называется двойным скалярным произведением или сверткой тензоров:

A ·· B = (18)

Ее результатом является скаляр. Прямая проверка позволяет убедится, что свертка тензоров равна первому инварианту (т.е. сумме диагональных элементов) скалярного произведения этих тензоров:

A ·· B =J1(A · B) =J1((A) ·(B))(18a)

Легко проверяется, что результат любой из этих операций инвариантен к повороту координатных осей.