Главные оси и главные значения тензора

Главным или собственным вектором тензора называется такой вектор, который в результате преобразования этим тензором сохраняет свое направление. Для тензора b, связывающего векторы a и b соотношением (3), вектор a собственный, если

b = l · a или (b) =l · (a), (10)

где l - скаляр, показывающий во сколько раз длина вектора b больше длины вектор a.

При таком преобразовании все проекции вектора как и его длина увеличиваются в l раз, а направляющие косинусы не меняются. Число l (имеющее такую же размерность, как и компоненты тензора b) называется собственным числом или собственным значением или главным значением тензора.

Собственные числа и направления собственных векторов находят следующим образом. Векторы a и b представим в виде

, ,

где - направляющие косинусы собственного вектора,

(11)

Из (3b) и (10) следует, что для собственного вектора

или

(12)

где (I) – единичная матрица.

Система 4-х уравнений (11)+(12) содержит четыре неизвестных – собственное число l и три направляющих косинуса главного направления.

Три алгебраических линейных однородных уравнения (12) относительно трех направляющих косинусов l_i имеют тривиальное нулевое решение (все l _i= 0). Это решение не удовлетворяет уравнению (11). Поэтому решение системы (11)+(12) возможно только в случае, когда у системы (12) тривиальное решение не единственно, то есть, когда система (12) особенная. Система алгебраических линейных уравнений особенна, если ее определитель равен нулю. Приравнивая нулю определитель системы (12), получим так называемое характеристическое уравнение тензора b или матрицы (b):

(13)

или,в развернутом виде:

(13a)

Раскрывая этот определитель, приходим к кубическому уравнению относительно собственных чисел l:

, (14)

которое назцвается характеристическим уравнением тензора, его коэффициенты выражаются через компоненты тензора следующим образом:

(15).

Коэффициент J3_b равняется определителю матрицы (b), Коэффициенты J2_b и J1_b – суммам ее главных миноров первого и второго порядков соответственно.

Известно, что для симметричных тензоров кубическое характеристическое уравнение имеет три вещественных корня – три вещественных собственных числа. Обозначим их l₁, l₂, l₃. Подставляя поочередно эти собственные числа в уравнения (12) и решая их совместно с уравнением (11) относительно направляющих косинусов l_i, определим направления трех собственных векторов.

Следует помнить, что при l = l_i система (12) особенная, ее определитель равен нулю, поэтому из трех уравнений (12) лишь два независимы, а третье является их следствием. Поэтому система (11)+(12) состоит из трех независимых уравнений с тремя неизвестными направляющими косинусами и может быть решена. Техническая сторона получения решения в настоящее время едва ли представляет интерес, поскольку решать такую задачу без компьютера едва ли кто-нибудь захочет, а современные программные комплексы, такие как, например, Mathematic, MATCAD, MATLAB и др., включают в себя процедуры определения собственных чисел и собственных векторов матриц. При необходимости войдите в тот пакет, который есть на Вашем компьютере, введите матрицу и получите результат.

9. Инварианты тензора.

Инвариантами тензора называют такие функции его компонентов, которые не меняют своих значений при повороте координатных осей. Известно, что тензор второго ранга имеет три независимых инварианта.

Инвариантами тензора являются его собственные числа (собственные или главные значения) и любые, составленные из них комбинации. Поскольку собственные числа являются корнями характеристического уравнения (13), то коэффициенты этого уравнения J1, J2, J3, определяемые через компоненты тензора выражениями (14), являются инвариантами: при повороте координатных осей меняются в соответствии с (9) компоненты тензора, но не меняются их комбинации, выражаемые уравнениями (14). Коэффициенты характеристического уравнения J1, J2, J3 принято называть первым, вторым и третьим главными инвариантами тензора.