Координаты вектора в базисе

Теорема 7.4.

Любой вектор пространства раскладывается по базису единственным образом:

. (7.10)

Определение 23.

Коэффициенты а_x, а_y, а_z разложения вектора по базисным ортам называются координатами вектора в данном базисе

. (7.10)

Свойства координат векторов:

Пусть , , . Тогда

1.

2.

3. (7.11)

4. Условие коллинеарности векторов: векторы и , коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны:

. (7.12)

5. Координаты есть проекции вектора на соответствующие оси координат.

Пример 4. Выясните, образуют ли векторы , , базис.

Решение. Система векторов образует базис, если она линейно независима, т.е. равенство (7.8) справедливо только при .

. , , так как , . Однородная система имеет единственное решение – нулевое, а векторы образуют базис.