Базис системы векторов и пространства

Определение 17.

Подмножество системы векторов называется базисом системы векторов, если:

1) подмножество векторов линейно независимо,

2) каждый вектор системы линейно выражается через векторы этого подмножества.

Свойства базиса системы векторов:

1. Векторы системы раскладываются по векторам базиса единственным образом.

2. Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

3. Все базисы системы векторов состоят из одного и того же числа векторов.

Определение 18.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе.

Определение 19.

Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы раскладываются по векторам другой системы и наоборот.

Ранги эквивалентных систем равны.

Теорема 7.3.

Вектор линейно выражается через векторы тогда и только тогда, когда ранг системы векторов равен рангу системы векторов .

Определение 20.

Базисом n -мерного пространства Rⁿ называется упорядоченная система любых n линейно независимых векторов. Обозначается или .

В дальнейшем будем рассматривать трехмерное пространство R ³.

Определение 20*.

Базисом трехмерного пространства R ³ называется упорядоченная тройка любых линейно независимых векторов. Обозначается .

Определение 21.

Базис называется прямоугольным (ортогональным), если базисные векторы попарно перпендикулярны.

Определение 22.

Базис называется ортонормированным, если базисные векторы:

1) попарно перпендикулярны ;

2) имеют абсолютные величины, равные единице .