2015-06-28
1328
Определение 14.
Векторы 
называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Определение 15.
Линейной комбинацией векторов называют вектор
, (7.6)
где 
– коэффициенты линейной комбинации.
Если 
, то комбинация называется тривиальной.
Определение 15*.
Линейной комбинацией векторов 
называют вектор
, (7.7)
где 
(
) – коэффициенты линейной комбинации.
Говорят также, что вектор 
линейно выражается через векторы .
Определение 16.
Три вектора пространства называются линейно независимыми, если они не компланарны, т.е. никакой из них нельзя линейно выразить через два других вектора.
Определение 16*.
Три ненулевых вектора называются линейно зависимыми, если существуют числа 
, не равные нулю одновременно, что их линейная комбинация равна нулевому вектору, т.е. равенство
. (7.8)
Если (7.8) выполняется только при 
, то векторы называются линейно независимыми.
Определение 16**.
Система n векторов 
называется линейно зависимой, если существуют числа 
, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство
. (7.9)
Система n векторов называется линейно независимой, если равенство
выполняется только при 
.
Теорема 7.2 (Критерий линейной зависимости векторов)
Векторы (n >1) линейно зависимы, тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных.
Свойства системы линейной зависимых векторов:
1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.
2. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из ее векторов линейно выражается через остальные.
4. Если система векторов линейно независима, то любая ее часть также линейно независима.
5. Если часть системы векторов линейно зависима, то вся система линейно зависима.
6. Ступенчатая система векторов 
линейно независима.
