Линейная комбинация векторов и разложение вектора по системе векторов

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор , в этом случае говорят так же, что вектор разложен по системе векторов , а числа являются коэффициентами разложения.

Пример 1. Дана система векторов

, , .

Найти линейную комбинацию: .

Решение. 2·(2; 3; 6; -10)-(-2; 4; 0; -5)+3·(1; 5; -1; 3)+0·(-1; 2; -2; 3)=(4; 6; 12; -20)-(-2; 4; 0; -5)+(3; 15; -3; 9)+(0; 0; 0; 0)=(4+2+3+0; 6-4+15+0; 12-0-3+0; -20+5+9+0)=(9; 17; 9; -6)

Вектор разлагается по системе векторов , и коэффициентами разложения являются числа: λ₁=2; λ₂=-1; λ₃=3; λ₄=0.

С помощью векторов удобно записывать систему уравнений:

Введем в рассмотрение векторы-столбцы:

Тогда систему можно записать так:

или

Если совокупность чисел является решением системы (1.2), то вектор разлагается по векторам , и коэффициентами разложения являются числа , т.е. справедливо соотношение: .

Таким образом, чтобы найти разложение вектора по системе векторов достаточно найти любое решение системы уравнений: .