Ранг и базис системы векторов. Наибольшее число r линейно-независимых векторов данной системы (n-мерного пространства) называется рангом данной системы векторов (n-мерного пространства)

Наибольшее число r линейно-независимых векторов данной системы (n-мерного пространства) называется рангом данной системы векторов (n-мерного пространства).

Базисом системы векторов, имеющей ранг r, называется любая группа из r линейно-независимых векторов данной системы.

Базисом n-мерного пространства является любая система из n линейно-независимых векторов. Базисов в n-мерном пространстве бесчисленное множество, один из них система из n n-мерных ортов:

Такой базис называется единичным.

Теорема: Если набор линейно-независимых векторов является базисом некоторого множества векторов, то любой вектор этого множества можно представить линейной комбинацией базисных векторов:

Такое представление называется разложением вектора по базису , коэффициенты разложения определяются для данного вектора однозначно.

Пример: Дана система векторов и

Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти разложение вектора в этом базисе.

Найдем решение системы уравнений:

(-1; 2; 0)λ₁+(3; 1; -1)λ₂+(4; 0; 2)λ₃=(-3; 5; -3).

Решив систему получили единственное решение системы уравнений: , подставляя в которое получаем разложение вектора по базису, который образуют векторы :