Вычисление смешанного произведения трёх векторов в координатах

Пусть в пространстве задана декартовая прямоугольная система R =={ O,(i,j,k)}и относительно этой системы заданы векторы a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃), с=(с₁,с₂,с₃).

(a,b,c)=([a,b],c)

[a,b]=

с=(с₁,с₂,с₃).

(a,b,c)= .

То есть смешанное произведение это число, равное определителю, строки которого составлены из координатных строк векторов, входящих в смешанное произведение.

Непосредственно из свойств определителя третьего порядка следуют вышеперечисленные свойства.