Свойства смешанного произведения

1) Смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях. Оно положительно, если тройка правая, и отрицательно, если она левая.

Доказательство.

Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторах равен произведению площади основания на высоту где – угол между и

Поэтому

Знак смешанного произведения совпадает со знаком и поэтому, смешанное произведение положительно, когда направлен с в одну сторону от плоскости векторов т.е. тройка – правая. Аналогично, смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно. ∎

2) Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.

Пусть , , ¹ 0.

Пусть , , – компланарны. Тогда ^ .

Пусть Þ либо ^ , либо .

В первом случае это означает, что вектор ^ векторам , , Þ , , – компланарны. Во втором случае – || Þ и – линейно зависимы Þ , , – компланарны.

3) Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. .

Доказательство. Тройки , , и , , ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.

Обозначение. Смешанное произведение векторов , , обозначается , .

4) .

Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.

5) , .

Следует из свойств скалярного произведения.

Теорема 5 (линейность векторного произведения). Для любых векторов и любых чисел l и m имеет место равенство:

Доказательство. Воспользуемся линейностью смешанного произведения по второму сомножителю:

Выбирая вместо вектора ортонормированного базиса, можно видеть, что координаты векторов и равны, а значит, равны эти вектора. ∎

6⁰. Выражение векторного и смешанного произведения векторов через координаты сомножителей

Пусть в пространстве векторов задан произвольный базис . Пусть заданы своими координатами в этом базисе, т.е.

Тогда Так как , то получаем

В частности, если базис – ортонормированный, т.е. то в силу , получаем

Это равенство формально можно переписать в виде

Если ввести в рассмотрение третий вектор и вычислить смешанное произведение векторов, то получаем:

с учетом свойства равенства нулю смешанного произведения компланарных векторов. Отсюда следует, что

или, формально можно записать

Если рассматриваемый базис ортонормированный, то

7⁰. Двойное векторное произведение.

Определение 18. Двойное векторное произведение векторов , , это произведение вида .

Выразим двойное векторное произведение через скалярное.

Пусть Þ ^ и ^ . Тогда, в силу ^ Þ лежит в плоскости векторов и Þ . Умножим это равенство скалярно на . Имеем .

Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случае в обоих случаях). Тогда Þ , такое что , .

Тогда

Для того, чтобы найти , вычислим левую и правую части в некотором базисе. Пусть вектор направлен вдоль вектора , лежит в плоскости векторов и , определяется из условия, что , , образуют правую тройку. Тогда , , .

Имеем

, .

Отсюда видно, что . Итак, справедлива формула:

Пример 1. Доказать тождество Якоби:

Имеем

Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.

Пример 2. Вычислить .

Имеем:

()

8⁰. Примеры решения задач.

Пример 1. Вычислить синус угла между векторами , .

Имеем: . . .

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , . Так как модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, то имеем