Свойства умножения вектора на число

1) и .

2) и вектора .

3) и вектора .

4) вектора .

Доказательство 1). Пусть для простоты и будем использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Если вместо и взять и , то получим подобный параллелограмм и его диагональ соответственно равна (см. рис.3).

Рис.3. Иллюстрация свойства сложения векторов

Доказательство 2)–4). Очевидно, и при этом получаются коллинеарные вектора.

Теорема 1. Множество векторов пространства образует линейное пространство.

Доказательство. Следует из свойств сложения векторов и умножения на число.∎

Замечание. Можно определить операцию вычитания векторов по формуле (см. рис.4)

Рис. 4. Вычитание векторов

a) Множество коллинеарных векторов образует линейное пространство

б) Множество компланарных векторов образует линейное пространство.

Далее выясним размерности и базисы перечисленных пространств.

2^о. Размерность линейных пространств геометрических векторов.

Теорема 2. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то очевидно. Поэтому далее предполагаем, что оба вектора ненулевые.

Пусть и – коллинеарны. Отложим их от одной точки. Пусть . Тогда если , то , если , то . В обоих случаях и – линейно зависимы.

Пусть и – линейно зависимы, т.е. , где не равно 0. Тогда, если , по определению10 и коллинеарны.∎

Следствие 1. Линейное пространство коллинеарных векторов одномерно и его базисом может служить любой ненулевой вектор.

Следствие 2. Если и – коллинеарны и , то R: .

Доказательство. R: . Если . Т.о. и .

Теорема 3. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Будем предполагать, что никакие два вектора из трех не коллинеарны, так как иначе утверждение очевидно в силу свойства линейно зависимых векторов.

Пусть вектора компланарны. Перенесем их в точку O, проведем через конец вектора c прямые, параллельные векторам и и рассмотрим параллелограмм .(см. рис. 5) Векторы и , и – коллинеарны R: , . Но , , – линейно зависимы.

Рис.5. Иллюстрация доказательства теоремы 4.

Пусть , , – линейно зависимы. Тогда R, одновременно не равные нулю: . Если, например, , то – диагональ параллелограмма со сторонами, параллельными и , , лежат в одной плоскости, то есть они компланарны.∎

Следствие. Линейное пространство компланарных векторов двумерно и его базисом может служить любая пара неколлинеарных векторов.

Теорема 4. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. Предположим, что никакие три из векторов не компланарны (иначе они линейно зависимы) очевидно. Остальное следует из (рис.6) по аналогии с доказательством теоремы 4. Через точку D проведем три плоскости, параллельные парам векторов { , }; { , };{ , }.

, . R: , , , – линейно зависимы.∎

Рис.6. Иллюстрация доказательства 5.

Следствие. Линейное пространство всех геометрических векторов трехмерное. Его базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.

3^о. Проекции вектора на ось

Пусть в пространстве задана некоторая прямая l и вектор .

Определение 11. Осью l будем называть прямую, на которой задано направление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).

Рис.7. Проекция точки А на ось l.

Пусть – точка, не принадлежащая l. Проведем через точку плоскость p^ l. Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось l. Обозначение: (см. рис.7).

Если наряду с точкой взять точку B, то можно построить .

Определение 12. Так построенный вектор называется векторной проекцией вектора на ось l. Обозначают: .

Иногда говорят, что есть компонента вектора на оси l.

Вектора и – коллинеарны Þ R: .

Определение 13. Такое число называется скалярной проекцией (проекцией) вектора на ось l с масштабным вектором . В этом случае рассматривается как единичный вектор. Пишут или .

Таким образом .

Легко видеть, что Û ^ .