Свойства скалярного произведения

1) Коммутативность: .

Действительно, (так как , то есть четная функция, то ) .

2) Скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора умноженной на проекцию другого на направление первого.

Действительно, .

Отсюда видно, что если , то .

Следовательно, проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на направляющий вектор оси.

3) .

Действительно, .

4) .

Действительно, .

5) Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Пусть ^ Þ Þ Þ .

Пусть Þ , так как , Þ Þ Þ ^ .

6) Пусть Þ , т.е. Þ скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора Þ .

Из последнего свойства следует, что – отдельная строка.

7) Пусть в пространстве геометрических векторов задан ортонормированный базис т.е. Тогда

Если вектора заданы своими координатами , то

т.е. в прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Из свойства 7) вытекают некоторые метрические формулы:

1) Þ Þ

2) Если , то , , .

Таким образом, прямоугольные координаты вектора есть его ортогональные проекции на оси прямоугольной системы координат.

3) Пусть , Þ

Таким образом, ^ Û .

Из формулы косинуса угла между векторами легко найти углы a, b, g, которые вектор образует с осями координат. Эти углы называются направляющими углами.

Имеем:

, , .

, , называются направляющими косинусами вектора . Они связаны соотношением

Следовательно, вектор есть координаты вектора , то есть вектора и .

5^о. Векторное и смешанное произведения векторов.

Определение 15. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левоориентированной или левой.