Свойства векторного произведения

1) Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Доказательство следует из определения 16.

2) Векторное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны.

Доказательство аналогично свойству 5 скалярного произведения.

3) Векторное произведение антикоммутативно, т.е.

Доказательство.

Тройка – правая, – левая. Тройка будет правой, если изменить направление , т.е. ∎

Пример. Если – правая тройка, то

Далее базис всегда будем рассматривать правый.

4) .

Докажем первое равенство.

a) Вначале покажем равенство модулей.

.

b) Так как || , то .

c) Покажем, что . Рассмотрим случай и .

Отсюда вытекает доказываемое свойство.

Определение 17. Смешанным произведением векторов называется число

Обозначение: