Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Пусть – три точки пространства, не лежащие на одной прямой, через которые проходит плоскость

Пусть – три точки пространства, не лежащие на одной прямой, через которые проходит плоскость. Возьмем произвольную точку плоскости и образуем три вектора . Так как все 4 точки лежат в одной плоскости, то и три вектора, их соединяющие, лежат в той же плоскости, то есть компланарны. Их смешанное произведение равно 0, т.е.

Поскольку смешанное произведение равно определителю, составленному из координат векторов, то должно выполняться:

Написанное равенство – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Покажем на примере как от данного вида уравнения плоскости, довольно громоздкого и неудобного на практике, перейти к общему.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки .

Подставив в (19.4) координаты точек , получим:

.

Разложим определитель по элементам первой строки:

,

,

.

Сократив на 5, получим общее уравнение искомой плоскости

.