Кратчайшее расстояние от точки до плоскости

Найдем расстояние d от точки до плоскости Р.

Под расстоянием от точки до плоскости понимается длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Возьмем на плоскости, заданной уравнением , произвольную точку и соединим ее вектором с M ₀, а из основания перпендикуляра отложим вектор , нормальный плоскости. Тогда расстояние d будет равно абсолютной величине проекции вектора на направление вектора , обозначаемой . Данную проекцию можно найти, используя скалярное произведение двух векторов

.

Вычисляя скалярное произведение через координаты векторов, получим

Здесь использовано равенство , вытекающее из уравнения плоскости.

Пример. Найти расстояние от точки до плоскости .

Подставив необходимые данные в формулу, имеем

.