Найти уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой постоянно и равно . Изобразить полученную линию на координатной плоскости.
Решение
Для наглядности на чертеже изображена заданная прямая и заданная точка. Там же отмечена произвольная точка , принадлежащая линии, уравнение которой нужно составить.
Длина отрезка равна модулю разности ординат точки на заданной прямой и точки М: . Расстояние между точками А и М находится по формуле: .
По условию задачи: .
Подставляя в последнее равенство расстояния до точки и прямой, получим уравнение:
.
Раскрываем скобки:
Приведём подобные: . Разделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение эллипса: . Его изображение в соответствии с полученным уравнением приведено на рисунке.