Способы задания ДСВ

Переменная величина Х, принимающая в результате испытания одно из конечной или бесконечной последовательности значений , называется дискретной, если каждому значению соответствует определенная вероятность того, что переменная величина Х примет именно это значение.

Функциональная зависимость вероятности от значения называется законом распределения вероятностей ДСВ Х (или кратко «закон распределения случайной величины»).

Возможные значения случайной величины	x1	x2	x3	…	xk	…
Вероятности этих значений	p1	p2	p3	…	pk	…

Закон распределения можно задать графически:

Закон можно задать аналитически: .

То, что величина Х примет одно из значений последовательности есть событие достоверное.

Иначе: - эти события несовместны и образуют полную группу. Следовательно, (если последовательность конечная) или (если последовательность бесконечная).

Например, пусть ДСВ Х: число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. Составить закон распределения Х.

х
р

Значение случайной величины , которому соответствует наибольшая вероятность, называется модой случайной величины.

Задача. Вероятность попадания при каждом выстреле р =0,8. Имеется 3 снаряда, стрельба ведется до первого попадания. Составить таблицу распределения числа израсходованных снарядов.

ДСВ Х: число израсходованных снарядов.

- вероятность того, что Х примет значение х₁, т.е. вероятность того, что будет израсходован один снаряд;

- вероятность того, что будет израсходовано два снаряда;

- вероятность того, что будет израсходовано три снаряд (два раза не попали и третий раз – попали; три раза не попали).

х
р	0,8	0,16	0,04

Контроль: 0,8+0,16+0,04=1

х₁ =1 – мода случайной величины Х.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появляться, может не появляться. Вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна p (q=1-p – вероятность не наступления).

Рассмотрим ДСВ Х: число появлений события А в этих испытаниях.

Найдем закон распределения. Т.к. событие А в n испытаниях может не появляться ни разу, 1 раз, 2, … n раз. Следовательно, значения Х: 0,1,2, …, n. Для нахождения вероятностей этих значений нужно воспользоваться формулой Бернулли.

Таким образом, формула Бернулли и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Такое распределение, определяемое формулой Бернулли, называется биномиальным, т.к. правую часть формулы Бернулли можем считать общим членом разложения бинома Ньютона.

Изобразить графически биномиальный закон распределения вероятностей случайной величины Х при n =5, p = , q = , где Х – число появлений события А в n независимых испытаниях.

х
р

Если число независимых испытаний велико, а вероятность наступления события в каждом испытании очень мала, (), то вероятность того, что событие А появится k раз в n испытаниях находится по закону Пуассона.

Такое распределение случайной величины Х называют распределением Пуассона.

Задача. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится равна 0,0002. Составить закон распределения числа испорченных изделий.

ДСВ Х: число поврежденных изделий среди отправленных.

х					…
р	0,37	0,37	0,19	0,06	…	…

n =5000, p =0,0002, np =1<10

и т.д.