Плотность распределения вероятностей

Дадим вначале не совсем точное, но более понятное определение НСВ. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все (любые) значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Рассмотрим НСВ , заданную на некотором интервале (интервал может быть и бесконечным ). Разделим интервал произвольными точками на малые интервалы .

Допустим, нам известна вероятность того, что попала на . Обозначим эту вероятность .

Для каждого малого промежутка определим р попадания в этот промежуток и изобразим геометрически, т.е. построим соответствующий многоугольник.

Таким образом, получаем ступенчатую ломанную. Проведем плавную кривую, описывающую многоугольники.

Если существует такая функция , что , то эта функция называется плотностью распределения вероятностей случайной величины или законом распределения (или плотностью распределения или плотностью вероятности).

Кривая называется кривой распределения вероятностей или кривой распределения.

Механический смысл функции : функция характеризует плотность распределения масс вдоль оси ох, т.е. линейную плотность.

Плотность распределения вероятностей является одной из форм закона распределения, но не единственной и не универсальной (только для НСВ).

Теорема. Пусть - плотность распределения случайной величины . Тогда вероятность того, что значение случайной величины попадет в некоторый интервал , вычисляется следующим образом:

Следовательно, зная плотность распределения случайной величины, мы можем определить вероятность того, что значение случайной величины попало в данный интервал. Геометрически эта вероятность равняется площади соответствующей криволинейной трапеции.

Замечание. В случае непрерывной случайной величины . Действительно, положим .