Функция распределения вероятностей случайной величины

Пусть х – произвольное действительное число. Рассмотрим событие, состоящее в том, что СВ Х примет значение, меньшее х.

Вероятность этого события обозначим через .

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е. .

Геометрически определение означает: есть вероятность того, что СВ Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Свойства :

1. (из определения).

2. - неубывающая функция, т.е. если .

Доказательство: Пусть . Рассмотрим событие: , оно состоит из двух несовместных событий:

Следовательно,

Что и требовалось доказать.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то, следовательно, при и при .

Доказательство: - невозможное событие. Следовательно,

Если , то событие - достоверное. Следовательно, .

Перейдем к особенностям функции распределения дискретной и непрерывной случайных величин.

Для ДСВ график имеет разрывный, ступенчатый вид. График расположен в полосе, ограниченной прямыми у =0, у =1.

Задача. Для ДСВ найти и построить график.

х
р	0,5	0,4	0,1

Если (свойство 3).

Если .

Если (свойство 3).

Пусть -плотность распределения некоторой непрерывной случайной величины , которая принимает значения из интервала

Таким образом, - функция распределения НСВ или интегральная функция. График называется интегральной кривой распределения.

Теорема. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал равна приращению функции распределения на этом интервале:

Доказательство:

Что и требовалось доказать.

Построим общий вид интегральной кривой, используя свойства :

По определению функции распределения: , т.е. производная от функции распределения равна плотности распределения вероятностей. Это равенство выражает связь между и непрерывной случайной величины.