2015-06-24
504
Определение. Уравнение 
(1) называется однородным, если 
может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е. 
. (2)
Таким образом, однородное уравнение имеет вид: 
(3)
Теорема. Однородное уравнение (3) имеет общий интеграл: 
. (4)
Замечание 1. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что 
. Рассмотрим тот случай, когда 
. Здесь имеются две возможности.
а) 
Тогда 
и уравнение (3) принимает вид: 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными 
и здесь никаких преобразований делать не нужно.
б) уравнение 
удовлетворяется лишь при определенных значениях 
. В этом случае могут быть потеряны решения 
. Интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало.
Пример. Решить уравнение 
.
Решение. Уравнение однородное. Полагаем 
. 
.
Если 
, то 
. Отсюда 
.
– общий интеграл.
Может быть потеряно решение 
или 
.
Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно есть особое решение.
Замечание 2. Формулу (4) запоминать не следует. Надо уметь ее выводить в каждом конкретном случае, как это сделано в примере.
|
|
|
Замечание 3. Для интегрирования уравнения более общего вида, чем (3) 
. (6)
(обобщенное однородное) сначала делают замену неизвестной функции и независимой переменной по формулам 
; выбирая 
и 
такими, чтобы исчезли свободные члены в числителе и знаменателе аргумента 
в (6), тогда (6) приводится к однородному уравнению.
