Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

, (1)

где n – любое число, не обязательно целое.

При уравнение Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. При оно превращается в линейное однородное уравнение.

Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных уравнений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при и ).

Однако во всех случаях его решение тесно связано с решением линейного уравнения.

Теорема. Пусть и . Тогда уравнение Бернулли (1) подстановкою сводится к решению линейного уравнения (для функции z).

Замечание. Уравнение Бернулли (1) может быть решено другим способом. Введем вместо неизвестной функции две неизвестные функции и , такие, что . (7)

Подставляя это в уравнение (1), получим:

(8)

Из этого одного уравнения определить две функции u и v нельзя.

Для того, чтобы определить конкретные функции и , необходимо задать еще одну зависимость между и , причем вообще говоря, произвольную.

Но проще всего положить . (9)

Тогда уравнение (8) примет вид: или, считая (или, что то же, ) . (10)

Так как есть решение однородного линейного уравнения (9), то его можно считать его известным: . (11)

Здесь, при интегрировании уравнения (8), мы положили произвольную постоянную . Это можно делать, так как за функцию мы можем взять любое решение уравнения (9).

Итак, известно. Отсюда следует, что уравнение (10) для определения будет с разделяющимися переменными (считаем ). (12)

Отсюда получаем : или (13)

Формулы (11) и (13) позволяют построить решение уравнения Бернулли

.

Такой способ решения годится и для и . В этом случае только формула (13) будет иметь другой вид, именно: , где С – произвольная постоянная.

Пример. или .

Это уравнение Бернулли. Здесь .

Преобразуем уравнение, разделив его на : .

Положим , тогда .

Следовательно, или .

Отсюда .

и – особое решение.