Теорема (Коши)
Пусть удовлетворяет условиям:
1) непрерывна в прямоугольнике K: , тогда в K ограничена, то найдется такое (3)
2) удовлетворяет в K условию Липшица
(4)
Тогда в интервале: (5)
дифференциальное уравнение (6)
обладает единственным решением , таким, что .
Замечания:
1. Для существования решения достаточно непрерывности в K.
2. Для единственности решения требуется выполнение условия Липшица (4), которое может быть заменено более жестким условием существования в K непрерывной .
3. При доказательстве теоремы рассматривается задача Коши: , (7)
которая заменяется эквивалентным ей интегральным уравнением . (8)
Затем к уравнению (8) применяется так называемый метод последовательных приближений Пикара. Он состоит в том, что строится последовательность функций сходящаяся к решению уравнения (8). Функции строятся по следующему правилу: за исходное приближение принимается , а следующие вычисляются по формуле: . (9)
Это есть рабочая формула для построения приближенного решения по методу последовательных приближений.
|
|
4. Допустим интегральная кривая построена на интервале . Возьмем конечную точку за центр нового прямоугольника и продолжим решение вправо. Поступая так, каждый раз, можно продолжить решение (интегральную кривую) до самой границы области G задания функции (в предположении, что G конечна и замкнута).
Мы построили интегральную кривую, проходящую через точку . Можно выбрать любую другую точку и опять получим единственную интегральную кривую. Таким образом, область G как бы состоит из интегральных кривых.
Теорема. Если определена и непрерывна на всей плоскости и удовлетворяет условию Липшица во всякой конечной области этой плоскости, то всякая интегральная кривая при возрастании или продолжима до или имеет вертикальную асимптоту при конечном значении , т.е. интегральная кривая не может окончится где-то внутри области.
Пример. .
Здесь удовлетворяет всем условиям теоремы. Решением задачи Коши будет . Решение имеет вертикальные асимптоты .
5. Те точки области G, в которых функция неопределена или перестает быть непрерывной или не выполняется условие Липшица, называются особыми точками уравнения . Таким образом, особые точки это те точки, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности. Особые точки могут быть изолированными, а могут составлять и целые области.