2015-06-24
527
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами 
(1)
и соответствующее ему однородное 
, (2)
где 
и 
– постоянные коэффициенты.
Найдем общее решение уравнения (2).
Будем искать решение уравнения (2) в форме 
.
Тогда 
.
Подставляя это в уравнение (2), получим: 
.
Но так как 
, то 
(3)
Это уравнение по отношению к уравнению (2), называется характеристическим.
Если функция есть решение уравнения (2), то 
должно быть корнем характеристического уравнения (3).
Рассмотрим три возможные случая:
1) корни уравнения (3) вещественны и различны 
2) корни вещественны и равны 
3) корни комплексные сопряженные 
1 случай. и действительны.
В этом случае функции 
и 
будут решениями уравнения (2). Так как их отношение 
, то эти решения линейно независимы и, следовательно, они составляют фундаментальную систему. А поэтому общее решение уравнения (2) в этом случае будет
(4)
Пример. 
Характеристическое уравнение будет 
.
Его корни 
. Общее решение будет 
.
2 случай. Корни равны 
.
В этом случае имеем пока только одно решение 
. Покажем, что вторым решением будет 
. Действительно,
Подставим это в левую часть уравнения (2), тогда получим
,
так как 
есть корень уравнения (3), и потому, что 
. А это значит, что есть решение (2), что и требовалось доказать.
Итак, мы имеем два решения и . Они линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Поэтому общий интеграл будет 
.
Пример. 
Характеристическое уравнение 
. Корни 
.
Общее решение 
.
3 случай. Корни комплексные сопряженные
Следовательно, имеем два комплексных линейно независимых решения 
.
Общее решение будет 
.
Ясно, что иметь вещественное общее решение надо считать 
и 
комплексными числами. Выразим 
и 
по формулам Эйлера, тогда 
Положим здесь 
. Тогда 
.
Поэтому 
.
Таким образом, в случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения, уравнение (2) имеет два линейно независимых вещественных решения 
.
Общее решение 
.
Пример. 
Общее решение 
.
