В. Метод вариации произвольных постоянных

В пункте А был изложен метод построения для специального вида . Метод вариации произвольных постоянных применим для функции любого вида.

Итак, рассмотрим уравнение (1): , где – любая функция (непрерывная).

Пусть нам известно общее решение однородного уравнения (2)

(7)

где – произвольные постоянные, а и – частные решения уравнения (2).

Будем искать частное решение уравнения (1) в виде , (8)

т.е. в таком же виде, как общее решение (7), но только вместо произвольных постоянных подставим пока неизвестные функции. Найдем их. Поскольку должно быть решением уравнения (1), то функции и связаны только одной зависимостью. Для того чтобы их найти, этого недостаточно. Поэтому мы вправе наложить на них еще одно условие по произволу.

Найдем производную . (9)

Потребуем, чтобы имело бы такой же вид, как если бы и были бы постоянными. Отсюда следует, что должно быть

. (10)

Тогда . (11)

Найдем . (12)

Подставляя и определенные формулами (9), (11) и (12), в уравнение (1), тогда получим:

или .

Но и суть решения однородного уравнения (2), поэтому имеем

(13)

Таким образом, и определяются из (10) и (13), т.е. из системы уравнений

(14)

Эта неоднородная система линейных алгебраических уравнений относительно и с определителем .

Это определитель Вронского, по доказанному ранее , поэтому система (14) имеет единственное решение. Определение из (14) и интегрируя их, найдем и , а затем и .