А. Правая часть уравнения (1) имеет специальный вид

Рассмотрим функцию: , (4)

где – полиномы, а числа m и n – вещественные любые.

По виду этой функции составим «контрольное число» .

Пусть корни характеристического уравнения будут и .

Определим число k следующим образом:

1) , если контрольное число не совпадает ни с одним из корней ;

2) , если совпадает с одним из корней ;

3) , если .

Правило. Если правая часть уравнения (1) имеет вид:

(5),

то частное решение следует искать в форме

(6),

где и – полиномы степени, равной наивысшей из степеней полиномов и .

Схема нахождения :

1) зная вид , записывают в форме (3), причем полиномы и и записываются с неопределенными коэффициентами;

2) подставляют в уравнение (1) вместо y, и приравнивают коэффициенты при одинаковых функциях справа и слева. Получают систему уравнений для коэффициентов многочленов . Решая эту систему, находят неизвестные коэффициенты.

3) Найденные коэффициенты подставляют в формулу (3) и находят .

Замечания:

1. Если функция имеет вид: или
, то частное решение все равно ищется в виде (6) .

2. Если , то . В этом случае частное решение ищется в форме: . При этом степень равна степени и .

3. Если , то , а имеет вид .

Пример.

Здесь:

Характеристическое уравнение . Следовательно, .

Поэтому следует искать в виде:

Отсюда Подставляя в уравнение и , находим:

Отсюда или

.

Следовательно, .