Классификация точек разрыва

1. Устранимый разрыв. Точка х ₀ называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке функция f(x) не определена, но имеет конечный предел.

Пример. f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х =0 функция имеет точку устранимого разрыва. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию:

2. Разрыв 1-го рода. Точка х ₀ называется точкой разрыва 1-го рода функции, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Пример. f(x) =

Эта функция в точке х = 0 не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1–го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях будет иметь в точке х = 0 разрыв 1–го рода.

3. Разрыв 2-го рода. Точка х ₀ называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция f(x) = имеет в точке х ₀ = 0 разрыв 2–го рода, т.к. .

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

Область определения функции разбита на три интервала , , . Внутри каждого интервала функции определены и, следовательно, непрерывны. Таким образом, остается исследовать функцию на непрерывность только в точках х = -1 и х = 1, в которых «стыкуются» области определения функций, составляющих функцию f(x). Найдем односторонние пределы: