Основные свойства степенных рядов

Пусть дан степенной ряд (2) с радиусом сходимости R>0.

Th 1. О равномерной сходимости степенного ряда

Каково бы не было число , то степенной ряд (2) равномерно сходится на любом отрезке .

□

Возьмем . Так как принадлежит области сходимости ряда (2), то числовой ряд сходится, а он является мажорирующим рядом для степенного ряда (2) на отрезке : при всех . Ряд (2) на отрезке сходится равномерно (в силу достаточного признака Вейерштрассе о равномерной сходимости функционального ряда).

■