Степенной ряд (2) можно почленно дифференцировать на интервале .
Замечание.
Радиус сходимости степенных рядов, полученных почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда с радиусом сходимости R тоже равен R.
Th 5. О тождестве степенных рядов.
Пусть степенные ряды и на некотором интервале имеют одну и ту же сумму, тогда при всех .
□
Итак , если . (7)
Отсюда при .
Продифференцируем (7), получим: , если . Отсюда при .
Продолжая дифференцирование, получим равенство всех коэффициентов ряда.
■