2015-06-24
441
Степенной ряд (2) можно почленно дифференцировать на интервале 
.
Замечание.
Радиус сходимости степенных рядов, полученных почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда с радиусом сходимости R тоже равен R.
Th 5. О тождестве степенных рядов.
Пусть степенные ряды 
и 
на некотором интервале 
имеют одну и ту же сумму, тогда 
при всех 
.
□
Итак 
, если 
. (7)
Отсюда при 
.
Продифференцируем (7), получим: 
, если . Отсюда при 
.
Продолжая дифференцирование, получим равенство всех коэффициентов ряда.
■
