Th 2. О непрерывности суммы степенного ряда

Сумма ряда (2) на интервале является непрерывной функцией.

□

Пусть - произвольная точка. Пусть . На отрезке ряд (2) в силу Th 1 сходится равномерно его сумма в силу теоремы о непрерывности суммы функционального ряда непрерывна на отрезке , а значит и в точке . А так как - произвольная точка интервала , то теорема доказана.

■

Из теорем о равномерной сходимости степенного ряда и теорем о почленном дифференцировании и интегрировании равномерно сходящихся функциональных рядов вытекают следующие теоремы.

Th 3. О почленном интегрировании степенного ряда.

Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать от 0 до любого .