Th 2. Критерий разложимости функции в степенной ряд

Пусть функция бесконечно дифференцируема в точке . Для того, чтобы функция в промежутке разлагалась в ряд Тейлора с центром необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (9) во всех точках стремился к нулю при .

□

Раз у функции имеются производные всех порядков, то имеет место формула

.

- остаточный член формулы Тейлора.

Если , то . И наоборот, если ряд сходится, то и .

■

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

1. . (13)

Найдем радиус сходимости этого ряда

ряд (13) сходится на промежутке .

2.

. (14)

Ряд (14) сходится на промежутке .

Аналогично можно получить:

3. , . (15)

4. , . (16)

5. , . (17)

6. , если , то ;

если , то ;

если , то . (18)