Раздел II: теория поля

2.1. Скалярное поле и его характеристики:

Определение: все пространство или любая его часть, в каждой точке которой задана некоторая скалярная величина , называется скалярным полем.

Характеристики скалярного поля:

1 ) Поверхности уровня: ; линии уровня: .

2) Производная по направлению.

Формула вычисления: , где - углы,

образованные направлением дифференцирования с соответствующими

координатными осями.

Производная характеризует скорость изменения функции поля в заданном

направлении.

3) Градиент:

Формула вычисления: ;

Свойства градиета:

- направлен по нормали к поверхности уровня;

- определяет направление, по которому достигает наибольшего значения и, следовательно, функция поля растет быстрее всего.

2.2. Векторное поле и его характеристики:

Определение:

Все пространство или любая его часть, в каждой точке которой задана некоторая векторная физическая величина , называется векторным полем.

Векторное поле считается заданным, если задан вектор .

Характеристики векторного поля

1) Векторные линии:

- система дифференциальных уравнений векторных линий;

2) Поток:

и в частности, ;

В поле скоростей текущей жидкости поток вектора поля через поверхность

определяет количество жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени – физический смысл потока через незамкнутую поверхность.

В поле скоростей текущей жидкости поток вектора поля изнутри поверхности

определяет разность между количеством жидкости вытекающей и втекающей в

область в единицу времени - физический смысл потока через замкнутую поверхность.

3) Дивергенция: .

Если , то поле называется соленоидальным.

Физический смысл дивергенции:

В поле скоростей текущей жидкости дивергенция векторного поля в точке характеризует мощность источника или стока, находящегося в этой точке.

4 ) Циркуляция: , также по формуле:

Физический смысл: циркуляция силового поля вдоль замкнутого контура, помещенного в поле, выражает работу этого поля при перемещении материальной точки вдоль замкнутого контура.

5 )Ротор: .