2015-07-03
1050
ЦПТ представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.
Теорема Ляпунова. Если 
- независимые СВ, у каждой из которых существует математическое ожидание 
, дисперсия 
, абсолютный центральный момент третьего порядка 
, 
и 
, то закон распределения суммы этих СВ 
при 
неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием 
и дисперсией 
.
Сформулируем ЦПТ для случая, когда члены суммы имеют одинаковое распределение, поскольку он чаще других используется на практике.
Теорема. Пусть СВ независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание 
, дисперсию 
и абсолютные центральные моменты третьего порядка 
, . Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих СВ стремится при к функции распределения стандартной нормальной СВ:
,
.
Согласно этой теореме, при достаточно большом n 
. Это означает, что сумма 
. Говорят, что при СВ асимптотически нормальна.
Проверим выполнение условия:
.
Теорема позволяет при больших n вычислять вероятности различных событий, связанных с суммами СВ:
.
Часто ЦПТ используется, если 
.
Пример 3
Независимые СВ 
распределены равномерно на отрезке 
. Найти закон распределения СВ 
, а также вероятность того, что 
.
Условия ЦПТ соблюдаются, поэтому СВ 
имеет приближенно плотность распределения
.
Так как 
, 
, 
, то
;
;
.
Тогда 
.
Следствиями ЦПТ являются рассмотренные ранее локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Приведем вывод интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Рассмотрим схему Бернулли. Пусть 
- число появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью p. СВ 
, где - независимые СВ такие что, 
, если в i -ом испытании появилось событие А, и 
, если событии А не появилось.
Так как СВ , , независимы и одинаково распределены, 
, 
, то согласно ЦПТ при большом n 
.
Тогда 
, где 
, 
. Получили интегральную теорему Муавра-Лапласа.
Пример 4
Машинистке требуется напечатать текст, содержащий 8000 слов, состоящих из четырех и более букв. Вероятность сделать ошибку в любом из этих слов равна 0,01. Какова вероятность, что при печатании будет сделано не более 90 ошибок?
.
Тогда , где , . Получили интегральную теорему Муавра-Лапласа.
Вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях произойдет k раз можно приближенно вычислить по формуле:
.
Чем меньше 
, тем точнее приближенное равенство. Минимальное целое число 
.
Можно записать:
,
где 
, 
.
При малом имеем 
, где 
- плотность распределения случайной величины , которая согласно ЦПТ имеет вид: 
.
Получаем локальную теорему Муавра-Лапласа: 
, где 
- функция Гаусса, 
.
