Метод хорд

1 2 3 4

Численные методы решения нелинейных уравнений.

Описание методов

Метод хорд.

Если на отрезке изоляции корня уравнения выполняются следующие условия:

1) , , непрерывны;2) ;

3) и сохраняют знак,

то можно определить последовательность точек, сходящуюся к исходному корню.

Метод хорд состоит в том, что в качестве начального приближения берётся одна из границ отрезка изоляции корня, а в качестве приближения – точка пересечения оси ОХ с хордой графика, проведённой через точки и . Таким образом, дуга графика принимается за отрезок прямой, т.е. производится линейная интерполяция (рис.).

Для нахождения точки используется уравнение хорды MN: .

Откуда .

Следующие приближения находятся из формулы

Если необходимо, это построение можно повторить.

Схема метода хорд:

Метод касательных (метод Ньютона).

Пусть на отрезке изоляции корня уравнения выполняются следующие условия:

1) , , непрерывны;

2) ;

3) и сохраняют знак.

Идея метода состоит в том, что в одном из концов дуги АВ графика проводится касательная к этой дуге, и в качестве приближённого значения корня выбирается абсцисса точки пересечения этой касательной с осью ОХ (рис.). Как известно, уравнение касательной к кривой в точке имеет вид .

Следовательно,

уравнение касательной в точке ,

уравнение касательной в точке .

Абсцисса точки пересечения касательной с осью ОХ определяется по формуле

Итерационный процесс прекращают, если , тогда приближённое значение корня полагают равным .

Перед началом процесса вычисления необходимо проверить правильность отделения корня. Для этого необходимо узнать знак произведения значений функции и её второй производной на каждом из концов выбранного отрезка. Если в обоих случаях знак будет отрицательной, то отрезок выбран неправильно, и решение уравнения найдено не будет.

Начальное приближение выбирается из следующих условий:

где .